1ºCASO- Fator Comum
Todos os termos do polinômio tem um fator comum. Exemplo:
1)Seja fatora: axc+bx+cx
Solução: x é um fator comum a todos os termos da expressão. Então podemos dividir a expressão por x, assim:
ax2+bx+cx=x(ax+b+c) A letra "x" diz-se que foi colocada em evidencia
2)4x3+8x2+2x=2x(2x2+4x+1)
3)3x2+x=x(3x+1)
2ºCASO - Fator Comum por agrupamento
1)Seja a fatora: ax+bx+ay+by.Poderíamos agrupa-los assim:
(ax+bx)+(ay+by), aonde "x" é comum em dois termos do primeiro parenteses e o "y" é comum em dois termos no segundo parenteses, poderiamos entretanto agrupar os termos da expressão assim: (ax+ay)+(bx+by), nesse caso o "a" é o fator comum no primeiro parenteses e o "b" no segundo parenteses. A escolha do agrupamento é arbitraria, o resultado em ambos serão o mesmo:
(ax+bx)+(ay+by)=
x(a+b)+y(a+b)
2) 3xy+6y-5x-10 (solução)
(3xy+6y)+(-5x-10)=
3y(x+2)-5(x+2)=
(x+2)(3y-5)
3)3ab-2a+9bc-6c (solução)
(3ab-2a)+(9bc-6c)=
a(3b-2)+3c(3b-2)=
(3b-2)(a+3c)
4)2ab+3bx-8a-12x
(2ab-8a)+(3bx-12x)=
2a(b-4)+3x(b-4)=
(b-4)(2a+3x)
3ºCASO - Trinômio Quadrado Perfeito
a2+2ab+b2
Nesse caso examinaremos os dois extremos do trinômio; se os dois forem quadrados perfeitos , isto é, se for possivel extrair a raiz quadrada dos dois, o fazemos. Em seguida verificaremos se o duplo produto dessas raízes é igual ao termo do meio. Se isso se confirmar trata-se de trinômio quadrado perfeito e a expressão fatorada será a soma dessas raizes ao quadrado. Assim:
a2+2ab+b2 temos:
Ora, 2.a.b=2ab que é igual ao termo do meio. Assim podemos afirmar:
a2+2ab+b2=
(a+b)2=
(a+b)(a+b)
Exemplo 2
4x2+4xy+y2
.
Exemplo 3:
4/9x2+4/3xy+y2
.
4º CASO - Diferença de Dois Quadrados
Exemplos:
1)a2-b2. Na multiplicação, vimos que o produto da soma de dois termos pela diferença dos mesmos é igual ao quadrado do 1º termo, menos o 2 º. Por exemplo:
(a+b)(a-b)=
a2-b2
então:
a2-b2=(a+b)(a-b)
2) y2-a2=(y+a)(y-a)
3)x2-4=(x-2)(x-2) detalhe: -4=-22
4)1/4x2-9= (1/2x)2-32=
(1/2x+3).(1/2x-3)
5)x4-16=(x2)2-42=
(x2+4)(x2-4)
A expessão x2-4 ainda pode ser fatorada
x2-4=(x+2).(x-2); então x4 - 16 = (x2+4)(x+2)(x-2)
5º CASO - Trinômio do 2º grau
Dado um trinômio do tipo x2- Sx+P, o problema consiste em determinar dois números tais que seja igual ao coeficiente de "x", e o produto desses dois números seja igual ao termo independente de "x". Seja fatorar o trinômio: x2-Sx+P. Se chamarmos de m e n os dois numeros procurados, teremos:
m+n=S
m.n=P => x2-Sx+P = (x-m)(x-n)
Exemplos
1) x2+5x+6
Solução:
O problema consiste em determinar dois números tais que a semo seja 5 e o produto seja 6.
Observe este esqueminha:
(entao os números procurados são 2 e 3)
Teremos então: x2+5x+6=(x+2)(x+3)
2) x2-6x+8
Detalhe:Se o produto é positivo, ou os dois números sao positivos
ou os dois números são negativos, de acordo com as regras de sinais da multiplicação. Por outro lado, se a soma é negativa, pelo menos um dos números será negativo. Conclusão: os dois números são negativos.
Portanto, os números procurados são -2 e -4 porque satisfazem as duas condições.Daí que x2-6x+8=(x-2)(x-4)
3) x2+2x-15
Fazendo ainda uma análise rápida temos que se a soma é positiva e o produto é negativo, então os números têm sinais diferentes
De acordo com as regras dos sinais da multiplicação, ainda podemos concluir que o número positivo, em valor absoluto, é maior que negativo.
| P | |
| x2=2x-15=(x-3)(x+5) | |
Exercício
Fatorar:
1)4a2-2ab
2)3x2y+6
3)4xy2+y2
4)7x2b2-14x2b5+21x2b
5)5xy2+25x2y+15xy
6)4x+4y+ax+ay
7)ax+bx+ay+by
8)15x2+9xy-10x-6y
9)1/3ax-1+54a-12
10)24x-8b-12x+4b
11)x2+2xy+y2
12)9x26x+1
13)1/9x2+8/3x+16
14)4x2+4xy+y2
15)x2-2xy+y2
16)9x2-12x+4
17)1/25x2-2/5xk+k2
18)1/4x2-2xy+4y2
19)x2+8x+15
20)x2-3x-10
21)x2+4x-21
22)x2+7x+12
23)x2+x-30
24)x2-x-42
25)x2-5x-24
Como fatorar a^4 + 3a^2 + 4 ?
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